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prim算法是求最小生成树的算法，与求最短路径的dijstra算法类似。是以点为基础进行扩展的。算法的执行过程为：划分两个集合，一个是已放置好的点，另一个数未放置好的点。从任意一个点开始，将这个点放入第一个集合，然后找到与第二个集合中与第一个集合中点距离最近的点，加入第一个集合，重复此操作，一直到所有点都加入为止。
时间复杂度：未优化之前的复杂度是O(v^2)，使用优先级队列优化后可以达到O(ElogE)。
未优化前：无论是使用邻接表还是邻接矩阵，时间复杂度都是O(v^2)，因为需要加入v条边即外层循环V次O(v)，内层需要遍历所有点O(v)来找下一个出发点以更新dis数组，总的复杂度为O(v^2)。
代码（邻接矩阵）：
#include#include #define INF 0xfffffff#define N 550int V, E;bool vis[N];int dis[N], map[N][N]; // dis数组保存与i点相连的最短边，map为邻接矩阵 void Init(){ // 初始化 for(int i = 1; i <= V; i ++){ for(int j = 1; j <= V; j ++){ map[i][j] = INF; } vis[i] = 0; }}int Prime(int choose){ // choose 为最小生成树的出发点，其实在这儿不重要，可默认为1 for(int i = 1; i <= V; i ++){ // 更新dis数组 dis[i] = map[choose][i]; } vis[choose] = 1; // 标记出发点 dis[choose] = 0; int ans = 0; for(int j = 1; j < V; j ++) { int min = INF; for(int i = 1; i <= V; i ++) { // 选取边权最小的点作为下一个出发点 if(!vis[i] && min > dis[i]){ min = dis[i]; choose = i; } } ans += min; vis[choose] = 1; for(int i = 1; i <= V; i ++){ // 以最新的出发点的边更新dis数组 if(!vis[i] && dis[i] > map[choose][i]){ dis[i] = map[choose][i]; } } } return ans;}int main(){ int loop; int start, end, len; scanf("%d", &loop); while(loop --){ scanf("%d%d", &V, &E); Init(); for(int i = 0; i < E; i ++){ // 建图 scanf("%d%d%d", &start, &end, &len); map[start][end] = map[end][start] = len; } int ans = Prime(1); printf("%d\n", ans); } return 0;}
优化之后：首先需要使用邻接表来存才能降低复杂度。先把与第一个点相邻的点加入队列，然后重复执行一下操作：从队列中拿出距离最小且未加入的点，把这个点加入集合，然后再将与此点相邻的点都加入队列，直到所有点都加入。因为有E条边，这个过程一共加入了E个点，时间复杂度为O(ElogE)。
代码：
#include（以上代码未运行）#include #include #include using namespace std;#define INF 0xfffffff#define N 550struct Node{ int to, len; bool operator <(const Node &a)const{ return len > a.len; }};int V, E;bool vis[N];vector G[N];priority_queue Q;void Init(){ for(int i = 1; i <= V; i ++){ G[i].clear(); vis[i] = 0; } while(!Q.empty())Q.pop();}int Prime(int choose){ Node p; for(int i = 0; i < G[choose].size(); i++) Q.push(G[choose][i]); vis[choose] = 1; int ans = 0, cnt = V - 1; while(!Q.empty() && cnt){ p = Q.top();Q.pop(); if(vis[p.to])continue; vis[p.to] = 1; ans += p.len; cnt--; choose = p.to; for(int i = 0; i < G[choose].size(); i++){ p = G[choose][i]; if(!vis[p.to]) Q.push(p); } } return ans;}int main(){ int loop; int start, end, len; Node p; scanf("%d", &loop); while(loop --){ scanf("%d%d", &V, &E); Init(); for(int i = 0; i < E; i ++){ scanf("%d%d%d", &start, &end, &len); p.len = len; p.to = end; G[start].push_back(p); p.to = start; G[end].push_back(p); } int ans = Prime(1); printf("%d\n", ans); } return 0;}
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